宇宙を解くパズル 真理は直感に反している

最近読んでいる本は、ブルーバックス「宇宙を解くパズル」 　真理は直感に反している　

https://www.amazon.co.jp/dp/4065262496

「超弦理論」の研究者であるカムラン・バッファ氏が、ハーバード大学1年生向けの講義で使った教科書がベースの本。パズルを解きながら宇宙の謎に迫るということで、非常に興味深いのだが、いささか難しい。その中で面白いと思ったパズルを勝手に紹介。

問題

地球の赤道のまわりに、巨大なベルトをきつく巻いたとしよう。そのベルトの長さを1m延ばす。すると、ベルトは地表からどれだけ浮き上がるか？　下に紙を通せるだろうか？　ネズミなら？　高層ビルなら？

これはパズルなので、地球は半径6,378,100mの完全な球体で、山も海もないと仮定します。

コレが解けたらつぎの問題。ベルトを全方向に一様に持ち上げるのではなく、1ヵ所だけに集中させて引っ張り上げると、どれだけ高く持ち上げられるか？　手で持ち上げられるだろうか？　それともクレーンが必要？　いやいやヘリを使う必要がある？

ヒント

最初の問題にヒントはいらないですよね。計算は簡単ですが、結果は意外です。

二番目の問題は三角算数を使った方程式を解く必要があり、ちょっと面倒です。さらに解析的には解けそうにないので、近似式を使う必要があります。

方程式が作れたら、次の近似式を使って方程式を簡単にし、エクセルか関数電卓を使って数値解を求めます。

使う近似式　 \(\theta\ll1\)　の時、

\[\tan\theta\simeq\theta + \frac{1}{3}\theta^3\]

\[\frac{1}{\cos\theta}\simeq1 + \frac{1}{2}\theta^2\]

回答

最初の問題

ベルトが地表からx(m)だけ浮き上がったとします。ベルトの長さは赤道の周りの長さより1mだけ長いので、次のような式が成り立ちます。

\[2\pi\times(6378100+x)=2\pi\times6378100+1\]

この式より

\[2\pi x=1\]

\[x=\frac{1}{2\pi}=0.159\]

ということで、正解は「約16cm浮き上がる」です。

直感的にはそんなに浮き上がるはずはないと感じるのですが、計算するとこうなります。地球の半径に関係なく、伸ばした長さを\(2\pi\)で割った分だけ浮き上がる計算です。

二番目の問題

これについては絵を描いて考えていきましょう。さてベルトの一点を持って引っ張り上げると、下のようになります。

※ちょっとこの絵はわかりやすいように大げさに描いていますが、実際にはθはこれよりはるかに小さくなります。

この図を見ながら方程式を書いて行きます。

引っ張り上げたベルトはある地点から地表を離れます。この点をAおよびCとします。ここから引っ張り上げた点Bまでの角度（\(\angle AOB\)）をθとします。

この間の地表での距離はRθ、そしてベルトが地面を離れてから持ち上げた点までの長さABは、Rtanθです。そしてRθとRtanθの差がベルトを伸ばした長さの半分、つまり0.5mということになります。Rは地球の半径 6378100mです。

\[R\tan\theta = R\theta + \frac{1}{2}\]

この方程式を解いて、θを求めるのですが、このままでは解けそうにありません。そこでtanθを近似式 \(\tan\theta = \theta + \frac{1}{3}\theta^3\) で置き換えます。

\[R(\theta + \frac{1}{3}\theta^3) = R\theta + \frac{1}{2}\]

\[\theta = (\frac{3}{2R})^\frac{1}{3}\]

これでθが求まりました。次にベルトが持ち上がった高さｈを求めて行きます。

三角形OABは直角三角形なので、地球の中心から持ち上げた点までの長さOBは

\[OB = \frac{R}{\cos\theta}\]

したがってベルトが持ち上がった高さhは

\[h = OB - R = \frac{R}{\cos\theta} - R\]

ここでも近似式を使って置き換えます。

\[\frac{1}{\cos\theta} = 1 + \frac{1}{2}\theta^2\]

\[h =  \frac{1}{2}\theta^2R\]

ここで先程求めたθを代入すると

\[h = \frac{1}{2}R^\frac{1}{3}(\frac{3}{2})^\frac{2}{3}\]

これをエクセルで計算すると

\[h\simeq 121.5\]

なんとなんと、驚異の121m超え！　ベルトの長さをたった１m伸ばすだけで121mも持ち上げることができるなんて、本当にビックリです。

ちなみにベルトを伸ばす長さを１mではなく s として一般解を求めると次のようになります。

\[h = \frac{1}{2}R^\frac{1}{3}(\frac{3s}{2})^\frac{2}{3}\]

仮にベルトの長さを174m長くしたら、持ち上げられる高さは3787m、富士山を超える高さになります。

以上、直感に反する真理の一つでした。お疲れ様。