office moorea: マンデルブロとジュリア

8月のブログでマンデルブロ集合やジュリア集合などが描く、複雑で不思議な図形を紹介した。

その後、プログラムを改良し、これらの図形を手軽に描けるようにしたので、今一度、マンデルブロ集合やジュリア集合の描く世界を紹介する。

マンデルブロ集合

マンデルブロ集合というのは、次のような漸化式が発散しない複素数\(c\)の集合である。

\[z_{0} = 0\]

\[z_{n+1} = z_{n}^{2} + c\]

ものすごく単純な漸化式で、もし\(z\)や\(c\)が実数であれば、\(c>0.25\)なら発散、つまり\(n\)が大きくなると無限大になり、\(c\leqq0.25\)であれば一定の数に収束する。

しかし\(z\)や\(c\)が複素数だと複雑な世界になる。下の図はマンデルブロ集合を示したものである。実数は直線で示せるが複素数を示すには平面が必要となる。この平面は\(c=u+vi\)とした場合の\(uv\)平面であり、\(u\)および\(v\)の値によって\(z\)の漸化式が発散するかどうかを色で表現している。

黒い部分は発散しないところ、すなわちマンデルブロ集合に属する点であり、色がついている部分は発散した、つまりマンデルブロ集合に属さない点である。

この画像は横960ｘ縦720であり、計69万1200の点について、上の漸化式が発散するかどうかを最大で\(n=100\)まで計算したものである。100回まで計算して\(z\)の絶対値が2より小さければ黒、100回以前に\(z\)の絶対値が2を超えた場合、何回目で超えたかによって色分けをしている。この図一枚を描くのにどれほど多くの計算をしているか、理解していただけるだろうか。

このマンデルブロ図形はどこまでも拡大できて、いろいろな世界が広がる。一部を10倍、100倍、1000倍に拡大したものを下に示す。

ジュリア集合

マンデルブロ集合との姉妹関係にある集合がジュリア集合である。マンデルブロ集合は、

\[z_{n+1} = z_{n}^{2} + c\]

で、\(z_{0} = 0\)という条件で、\(c=u+vi\)を変化させた場合であった。

これに対して、\(c=u+vi\)を固定して、\(z\)の初期値である\(z_{0}\)を変化させた場合について計算したものが、ジュリア集合である。

下にジュリア集合の例を示す。右側がマンデルブロ、左がジュリアである。マンデルブロの十字マークの点が\(u=0.32,v=0.043\)であり、この値を固定して、つまり\(c=0.32+0.043i\)との条件で、\(z_{0}\)を変化させた場合を示している。したがってジュリアの平面は\(z_{0}=x_{0}+y_{0}i\)としたときの\(x_{0}y_{0}\)平面となっている。