数学者を大議論に巻き込んだモンティ・ホール問題

 ゲーム番組に出演したあなたにビッグチャンス。

目の前にドアのついた3つの部屋が用意されています。１つの部屋には赤いスポーツカーが、残りの2つの部屋にはヤギが入っています。

あなたはどれか一つの部屋を選ぶことができます。その部屋の中にスポーツカーが入っていたら大正解！その車はあなたのものになります。

一方、ヤギがいたら残念ながら外れ。あなたは何ももらえません。

あなたは意を決して一つの部屋を選びました。しかし司会者はすぐにはドアを開けません。そしてあなたを焦らすように、あなたが選ばなかった部屋から一つを選んでドアを開けました。そこにはヤギがいます。

司会者はどの部屋に何が入っているのかを知っていて、ヤギが入っている部屋のドアを開けたのです。

さあ、まだ開けていない部屋のどちらかにスポーツカーが入っていて、もう一つの部屋にはヤギがいます。

司会者はここであなたに問いかけます。

いまなら選んでいる部屋を変更してもいいですよ。

さあ、あなたは部屋を変更するべきでしょうか？

あなたの答えは？

「まだ開けられていない部屋は２つ。そのどちらかには車が、どちらかにはヤギが入っているので、確率は1/2。選択する部屋を変更しても、変更しなくても同じ」

確信を持ってそう言えますか？

それではもう少し考えてみましょう。あなたが最初に部屋を選んだ時、中に車がある確率はいくらですか？　そう、1/3ですよね。だったら、司会者が部屋の中の物を入れ替えない限り、選択を変更しない場合の車がもらえる確率は1/3ではありませんか？いつのまに1/2に変わったのでしょうか？

この問題を場合分けによって検討します。最初に部屋を選択した場合の可能性は3通りです。

A)車の部屋を選択

B)ヤギ１の部屋を選択

C)ヤギ２の部屋を選択

ここでのポイントは２頭のヤギをヤギ１，ヤギ２と区別していることです。

それぞれの場合について、次の可能性を考えます。

Aの場合、残っている部屋にはヤギ１とヤギ２がはいっています。司会者はどちらかの部屋のドアを開けます。そしてまだ開けられていない部屋には、やはりヤギがはいっていることになります。このため、あなたがが選ぶ部屋を変えると、ヤギを引き当てることになります。「変えなければ車がもらえたのに悔し－」というわけです。

Bの場合、残っている部屋には車とヤギ２がはいっています。司会者はヤギ２の部屋を開けるので、開けられていない方の部屋には車が入っています。このため、あなたが選ぶ部屋を替えると、車を引き当てることになります。

Cの場合もBと同じで、ヤギ１とヤギ２が違うだけです。したがってCの場合でも、あなたが選ぶ部屋を替えると、車を引き当てます。

以上を整理すると次のようになります。

A)車の部屋を選択　部屋を選びかえるとヤギ

B)ヤギ１の部屋を選択　部屋を選びかえると車

Cヤギ2の部屋を選択　部屋を選びかえると車

つまり正解は

部屋を選びかえない場合、車をゲットする確率は1/3、選びかえた場合は2/3。

あなたは部屋を選びかえるべき。

うーん、わかるけど納得できない　でしょうか。

そういう人はエクセルでも使って、シミュレーションをやってみてください。100回、200回とシミュレーションを繰り返すと、部屋を選び変えた場合に車をゲットする確率が2/3に近づくことがわかると思います。

説明は以上です。納得できないという人は、モンティ・ホール問題でググって調べてみてください。