マンデルブロとジュリア

マンデルブロと姉妹関係にあるジュリア集合というものがあります。

実はマンデルブロよりもジュリアの方が大先輩で、ジュリアの研究したジュリア集合を研究し、その一つのパターンについてコンピュータを使って図にしたのがマンデルブロ集合です。

上の図の左側はマンデルブロ図で、右側がジュリア図です。右のジュリア図は、マンデルブロ図の十字点に対応しています。

マンデルブロは、以下の漸化式での初期値を0に固定（\(z_{0}=0\)）し、Cの変化によって収束がどのように変わるかを見たものです。

\[z_{n+1}=z_{n}^{2}+C\]

\[z_{0}=0\]

\[C=u+iv\]

これに対して、ジュリアではCを固定し、初期値の変化によって収束がどのように変わるかを見ています。下の図ではCを\(C=0.32+0.043i\)に固定して、\(z_{0}=u+iv\)の変化を\(uv\)平面に描画しています。

これからわかるように、マンデルブロ図形は一つしかありませんが、ジュリア図形はCの数だけ、無限に存在します。下にマンデルブロと対応した５つのジュリア図形を示しました。

これらの対応がわかりやすいように動画を作成しました。こちらの動画も合わせて御覧ください。

どこまでも拡大できるマンデルブロ、そしてその全ての点に対応して、同じく無限に拡大できるジュリア。想像を絶する世界です。